SKALAR & VEKTOR

SKALAR & VEKTOR

Skalar adalah suatu kwantitas yang hanya mempunyai besar saja dan tidak mempunyai arah. Misalnya : panjang, massa, waktu, suhu, jarak, energi, usaha (kerja), bilangan riil, dan lain-lainnya. Skalar ditunjukkan dengan huruf biasa, dan operasi perhitungan skalar menggunakan aljabar biasa.

Vektor adalah suatu kwantitas yang mempunyai besar dan arah. Misalnya : kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, lintasan, posisi, momentum, torka, berat, dan lain-lain.

Vektor dapat dinyatakan secara grafis maupun secara trigonometris.

Secara grafis, vektor digambarkan sebagai anak panah dengan arah tertentu. Ujung ekor O dinamakan titik asal vektor, sedang ujung kepala P dinamakan titik terminal.

O P

F (dengan tanda anak panah diatasnya) atau F

Gambar 2.3. Vector

Panjang anak panah menyatakan besar vektor, sedang arah anak panah, menyatakan arah vektor. Apabila vektor masuk bidang, digambarkan dengan tanda silang (x), sedang apabila vektor keluar bidang, digambarkan dengan tanda titik (.)

Secara trigonometris, vektor digambarkan dengan huruf yang diberi gambar anak panah diatasnya, atau huruf tebal tanpa anak panah diatasnya, sebagai contoh : F (gaya), v (kecepatan), a (percepatan), r (posisi), P (momentum linier), dan sebagainya.

Vektor Satuan : adalah vektor yang mempunyai besar satuan. Jika F adalah vektor yang besarnya F (huruf tidak tebal) dan bukan nol, maka F / F adalah vektor satuan yang mempunyai arah seperti arah F.

Suatu vektor F dapat dinyatakan dengan vektor satuan a dalam arah F dikalikan besar F tersebut, jadi F = Fa. Vektor satuan pada sumbu x, y, dan z, masing-masing dilambangkan dengan i, j, dan k. dengan demikian maka Fx = Fx i ; Fy = Fy j ; Fz = Fz k

2.2.1. Aljabar Vektor

Operasi perhitungan vektor yang banyak digunakan dalam aplikasi adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.

F₁ F₂

-F

Gambar 2.4. Vektor F₁ dan F₂ Gambar 2.5. Sebuah vector samabesar

Sama besar dan searah, maka dan sejajar dengan A tetapi berlawanan

F₁ = F₂ arah, maka A = -A

2.2.1.a. Penguraian Vektor

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi beberapa vektor lain. Misal, jika vektor F dalam bidang (2dimensi) diuraikan ke sumbu x dan y, masing-masing menjadi Fx dan Fy maka Fx dan Fy adalah komponen-komponen dari vektor F (Gambar 2.6).

Demikian pula jika sebuah vektor F dalam ruang (3dimensi) diuraikan ke sumbu x, y, dan z maka komponen-komponen dari vektor F adalah Fx, Fy, dan Fz Gambar 2.7)

Keterangan : Fx = Fx i ; Fy = Fy j ; Fz = Fz k , dimana : i, j, dan k disebut vektor satuan dan masing-masing mempunyai harga = 1.

Fy j F

Fzk

Fy j

Fx i Fx i

Gambar 2.6. Gambar 2.7.

2.2.1.b. Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis ataupun analitis. Penjumlahan antara dua buah vektor secara grafis adalah dengan meletakkan ekor dari salah satu vektor di kepala vektor yang lain, dimana besar dan arah vektor harus tetap. Kemudian tarik anak panah dari titik asal O ke ujung akhir seperti pada gambar 2.8.

F₂

F₁ F_R

F₁+ F₂= F_R = F₁

O O F₂

Gambar 2.8. Penjumlahan vektor

2.2.1.c. Pengurangan Vektor

Mengurangkan suatu vektor F₁ dengan vektor lain F₂sama dengan menjumlahkan vektor F₁dengan negatif dari vektor F_{2 ,}jadi F₁-F₂=F₁+ (-F₂) , sehingga dengan membalikkan arah panah dari F₂hasilnya seperti pada gambar 2.9

F₁

F₁-=

F₂F₁-F₂F₂

Gambar 2.9. Pengurangan vektor

Apabila Fx dan Fy pada gambar 2.8 dijumlahkan secara trigonometris, maka diperoleh resultan F yang besar dari nilai resultan tersebut adalah :

F = F = √ Fx ²+ Fy²+ 2 Fx.Fy cos q -----> q = sudut antara Fx dan Fy

Karena sudut antara Fx dan Fy adalah 90^odimana cos 90^o= 1, maka persamaan tersebut dapat ditulis :

F = F = √ Fx²+ Fy²

Demikian pula apabila Fx, Fy, dan Fz pada gambar 2.7 dijumlahkan secara vektor maka diperoleh resultan F yang besar harganya :

F = F = √ Fx²+ Fy²+Fz²

Contoh Soal 1 :

Z+ Y- Jika b x a = c , tentukan besar dan arah

a vektor c , dan gambarkan vektornya !

X- b X+ ( Besar b = 3 sedang a = 2 )

Y+ Z-

Contoh Soal 2: Gaya-gaya berikut bekerja pada sebuah titik, dimana besar dan arah masing-masing gaya adalah: F₁= 40N, F₂=70N, F₃= 40N, F₄ = 30N, F₅ = 80N, F₆ = 60N (gambar 2.10).Tentukan besar dan arah gaya resultan F_R baik secara grafis maupun trigonometris !

y F₂

F₅ F₄F₃

F₃ F₂

60 30 30 F₄ y F_R

30 F₁ x

F₆ F₅F₁

F₆

Gambar 2.10 Gambar 2.11

Jawab :

a). Secara Grafis dilakukan dengan meletakkan ekor dari vektor tiap gaya yang dijumlahkan ke kepala vektor yang lain secara simultan (tidak harus berurutan, yang penting besar dan arahnya tetap), kemudian tarik anak panah dari titik asal ke kepala vektor terakhir, dan hasilnya seperti pada gambar 2.11.

b). Secara trigonometris, dapat dilakukan dengan menguraikan tiap gaya menjadi komponen komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y, kemudian dijumlahkan secara vektor.

Pada arah sumbu x, maka :

S Fx = F₁ cos 0^o + F₂ cos 30^o + F₃ cos 60^o + F₄ cos 90^o + F₅cos 120^o + F₆ cos 210^o

= 40 cos 0^o + 70 cos 30^o + 40 cos 60^o + 30 cos 90^o + 80cos 120^o + 60 cos 210^o

= 40.1+70.0,866+40.0,5+30.0+80.-0,5+60.-0,866 = 40+60,62+20+0-40-51,96

= 28,66N

Pada arah sumbu y,

S Fy = F₁ sin 0^o + F₂ sin 30^o + F₃ sin 60^o + F₄ sin 90^o + F₅sin 120^o + F₆ sin 210^o

= 40 sin 0^o + 70 sin 30^o + 40 sin 60^o + 30 sin 90^o + 80sin 120^o + 60 sin 210^o

= 40.0+70.0,5+40.0,866+30.1+80.0,866+60.-0,5 = 0+35+34,64+30+69,28-30

= 138,92N

Jadi besar gaya resultan F_R = √ Fx ² + Fy ²= r28,66²+138,92² = 141,85N

Arah gaya resultan : tg q = Fy/Fx = 138,92/28,66 = 4,8472

Maka besar sudut q = 78,34^o (terhadap sumbu x)

2.2.1.d. Perkalian Skalar dan Vektor

Suatu vektor apabila dikalikan dengan skalar, atau sebaliknya, maka hasilnya adalah vektor. Jadi apabila m adalah skalar, sedang F adalah vektor maka mF = Fm = vektor.

Perkalian Skalar (Perkalian Titik) dari dua buah vektor A dan B dituliskan A.B dan dibaca A dot B, didefinisikan sebagai perkalian antara besar harga A dan besar harga B dan cosinus sudut (q ) yang diapit oleh kedua vektor tersebut.

A.B = AB cos q q = sudut yang diapit oleh A dan B

dan besarnya : 0 < q < p

Disebut perkalian skalar karena hasil dari perkalian dua buah vektor A dan B tersebut adalah skalar.

Contoh Soal 3 : Gaya F = 100N, bekerja terhadap suatu benda sehingga bergerak dengan lintasan d = 5 m dalam arah gaya, maka F.d = W = Fd cos 0^o = 100.5.1 = 500 N.m (W = 500 N.m tidak mempunyai arah karena skalar)

Hukum-hukum pada perkalian skalar :

1. A.B = B.A

2. A. ( B+C ) = A.B + A.C

3. m ( A.B ) = ( mA ).B = A.( mB ) = ( A.B ) m

4. i.i = j.j = k.k = 1 ; i.j = j.k = k.i = 0

5. Jika : A = Ax i + Ay j + Az k dan B = Bx i + By j + Bz k

maka : A.B = AxBx + AyBy + AzBz

A.A = A² = Ax² + Ay² + Az²

B.B = B² = Bx² + By² + Bz²

6. Jika A dan B masing-masing bukan vektor nol, sedang

A.B = 0, maka berarti A dan B saling tegak lurus

Perkalian vektor (Perkalian silang) dari vektor A dan vektor B dituliskan A x B

(dibaca A cross B) = C , didefiniskan sebagai hasil perkalian antara besar harga

vektor A dan besar harga vector B dan sinus sudut ( q ) yang diapit oleh kedua

vektor tersebut.

A x B = AB sin q u = C 0 < q < p

u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari hasil perkalian tersebut,

yakni arah dari vektor C.

Menentukan ”arah” hasil perkalian vektor

Untuk menentukan arah dari vektor C, maka dapat digunakan aturan putaran sekrup. Apabila A dan B berada pada suatu bidang maka arah C selalu tegak lurus terhadap bidang tersebut. Jika A diputar ke B (melalui sudut yang lebih kecil) dan menghasilkan putaran yang searah jarum jam maka arah C adalah masuk bidang, sedang apabila putaran berlawanan dengan arah putaran jarum jam berarti arah C keluar bidang.

Contoh Soal 4: Suatu gaya F =1000 N, bekerja terhadap sebuah roda pada posisi r = 0,4m terhadap acuan O (pusat roda) dalam arah membentuk sudut 30^o terhadap garis posisi, maka F x r = t =1000.0,4 sin 30^o= 200 N.m, dimana arah t adalah tegak lurus terhadap bidang dimana F dan r berada. Apabila F yang diputar ke r searah putaran jarum jam maka arah t masuk bidang, sedang apabila berlawanan dengan arah putaran jarum jam maka arah t keluar bidang.

z z

-y -y

-x B x -x A x

y C y -z

-z

(a) (b)

Gambar 2.12.

Pada gambar 2.12 (a) Dinyatakan A x B = C =AB sin 90^o. Jika besar A = 2, dan besar B = 2 maka besar C = 2.2.1 = 4 (arah C kebawah) ; Pada gambar 2.12 (b) Dinyatakan B x A = D = BA sin 90^o. Jika besar B = 3, dan besar A = 2 maka besar D = 3.2.1 = 6 (arah D keatas).

Contoh Soal 5 :

4m/s

30^o

A 400 m B

3m/s

Lebar suatu sungai 400 m. Sebuah kapal menyeberang dari sisi A ke sisi B dengan kecepatan tetap 5m/s.

Karena arah arus air yang kecepatannya 3m/s membentuk sudut 90^o terhadap arah dari A ke B dan mempengaruhi gerak kapal, maka nakhoda mengarahkan kapalnya dengan membentuk sudut 30^o terhadap arah A ke B dengan harapan kapal akan merapat di suatu tempat yang tidak terlalu jauh dari B (Lihat gambar). Hitung ditempat mana kapal merapat, diukur dari tempat B!

Jawab : 5m/s